---
route: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-31
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-31
source: Matura próbna CKE grudzień 2024
category: Stereometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-31

**Źródło:** Matura próbna CKE grudzień 2024
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Objętość stożka o wysokości \(2\) jest równa \(8 \pi\). Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(120^\circ\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości promienia podstawy.

Znamy wysokość naszej bryły, wiemy też jest jaka jest jej objętość, a to pozwoli nam obliczyć pole podstawy:

$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\

8\pi=\frac{1}{3}P_{p}\cdot2 \\

4\pi=\frac{1}{3}P_{p} \\

P_{p}=12\pi$$

W podstawie stożka mamy koło, którego pole wyrażamy wzorem \(P=\pi r^2\). Skoro tak, to możemy bez problemu obliczyć promień podstawy naszego stożka:

$$\pi r^2=12\pi \\

r^2=12 \\

r=\sqrt{12} \quad\lor\quad r=-\sqrt{12}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ promień musi być liczbą dodatnią, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{12}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(r=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}\).

Krok 2. Obliczenie kąta rozwarcia stożka.

W przekroju osiowym stożka wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwie równe części i tworzy trójkąt prostokątny. Jedną przyprostokątną tego trójkąta jest wysokość stożka o długości \(2\), drugą przyprostokątną jest promień podstawy o długości \(2\sqrt{3}\), a przeciwprostokątną jest tworząca stożka. Kąt \(\alpha\) przy wierzchołku stożka leży naprzeciwko promienia podstawy i jest połową kąta rozwarcia.

Druga przyprostokątna jest \(\sqrt{3}\) razy dłuższa od pierwszej, a to jest charakterystyczna cecha trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). Ten sam wniosek daje tangens, bo \(tg\alpha=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\), a taką wartość tangensa ma kąt \(60°\).

Kąt \(\alpha\) ma więc miarę \(60°\). Kąt rozwarcia stożka będzie kątem dwa razy większym, czyli tym samym będzie miał on miarę \(120°\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-grudzien-2024