---
route: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-28
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-28
source: Matura próbna CKE grudzień 2024
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-28

**Źródło:** Matura próbna CKE grudzień 2024
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są cztery okręgi: \(o_{1}, o_{2}, o_{3}, o_{4}\), o równaniach: \[ \begin{aligned} & o_{1}:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1 \\[6pt] & o_{2}:(x+1)^{2}+(y+2)^{2}=9 \\[6pt] & o_{3}:(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4 \\[6pt] & o_{4}:(x+3)^{2}+(y+4)^{2}=16 \end{aligned} \] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych \((x, y)\), jest

## Odpowiedzi

- **A.** \(o_{1}\)
- **B.** \(o_{2}\)
- **C.** \(o_{3}\)
- **D.** \(o_{4}\)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(x_{S}, y_{S})\) i promieniu \(r\) zapisujemy jako:

$$(x-x_{S})^2+(y-y_{S})^2=r^2$$

Ustalmy może najpierw co się tak naprawdę musi stać, by okrąg miał jakieś punkty wspólne z osią \(Ox\) lub \(Oy\). Aby tak się stało, długość promienia musi być równa lub większa od jednej ze współrzędnych wierzchołka środka okręgu, a nawet można powiedzieć, że musi być równa lub większa od wartości bezwzględnej jednej z takich współrzędnych. Tak przykładowo, gdybyśmy mieli okrąg o środku w punkcie \(S=(5;6)\) i promień miałby długość \(r=2\), to wtedy okrąg nie stykałby się z żadną osią, ale gdyby ten promień był większy i był równy przynajmniej \(5\), no to okrąg zacząłby się stykać z osią \(Ox\), a każdy jeszcze większy okrąg zacząłby tę oś przecinać w dwóch miejscach.

Z podanych okręgów wynika, że:

okrąg \(o_{1}\) ma promień \(r=1\)

okrąg \(o_{2}\) ma promień \(r=3\)

okrąg \(o_{3}\) ma promień \(r=2\)

okrąg \(o_{4}\) ma promień \(r=4\)

Teraz zerkając na współrzędne środka okręgu (które możemy odczytać z równań) widzimy, że punktów wspólnych z osiami nie będzie mieć okrąg \(o_{3}\), bo tutaj \(S=(3,4)\), a promień to \(r=2\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-716.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-grudzien-2024