---
route: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-24
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-24
source: Matura próbna CKE grudzień 2024
category: Planimetria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-24

**Źródło:** Matura próbna CKE grudzień 2024
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(7{,}5\). Krótsza przekątna \(AC\) ma długość równą \(6\) i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek). Oblicz pole trapezu \(ABCD\). Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(22,14\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.

Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że trójkąty \(ACD\) i \(ABC\) są podobne. Skąd to wiemy? Widzimy, że obydwa trójkąty mają kąt prosty. W dodatku kąty \(ACD\) i \(CAB\) to są naprzemianległe, więc mają one jednakową miarę np. \(\alpha\). Tym samym i trzecie kąty w tych trójkątach będą miały tą samą miarę, czyli wynika to wprost z cechy kąt-kąt-kąt.

Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.

Możemy od razu obliczyć skalę podobieństwa naszych trójkątów. Jeśli przyjmiemy, że duży trójkąt \(ABC\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ACD\) jest trójkątem podobnym, to skala podobieństwa wyniesie:

$$k=\frac{6}{7,5} \\

k=0,8$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\).

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABC\), możemy zapisać, że:

$$|BC|^2+6^2=7,5^2 \\

|BC|^2+36=56,25 \\

|BC|^2+=20,25 \\

|BC|=4,5 \quad\lor\quad |BC|=-4,5$$

Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam \(|BC|=4,5\).

Krok 4. Obliczenie długości \(AD\) oraz \(DC\).

Skoro skala podobieństwa naszych trójkątów wynosi \(k=0,8\) i znamy wszystkie długości trójkąta \(ABC\), to tym samym możemy obliczyć długości przyprostokątnych w trójkącie \(ACD\), które są górną podstawą oraz wysokością naszej figury. Trzeba tylko uważać, by do obliczeń brać odpowiednie długości boków, które są bokami odpowiadającymi w danych figurach:

$$|AD|=k\cdot|BC| \\

|AD|=0,8\cdot4,5 \\

|AD|=3,6$$

$$|DC|=k\cdot|AC| \\

|DC|=0,8\cdot6 \\

|DC|=4,8$$

Krok 5. Obliczenie pola trapezu.

Znamy już wszystkie potrzebne długości do obliczenia pola trapezu, zatem:

$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\

P=\frac{1}{2}(7,5+4,8)\cdot3,6 \\

P=\frac{1}{2}\cdot12,3\cdot3,6 \\

P=22,14$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-grudzien-2024