---
route: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-20
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-20
source: Matura próbna CKE grudzień 2024
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-20

**Źródło:** Matura próbna CKE grudzień 2024
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|AC|=\sqrt{15}\) i \(|BC|=8\). Na przyprostokątnej \(AB\) leży taki punkt \(D\), że \(|BD|=6\) (zobacz rysunek).

**a)** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Sinus kąta ostrego \(ABC\) jest równy

A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{7}{8}\)
C. \(\frac{\sqrt{15}}{4}\)
D. \(\frac{\sqrt{15}}{8}\)

**b)** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta ostrego \(ADC\) jest równy

A. \(\sqrt{15}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{7}{8}\)
D. \(\frac{\sqrt{15}}{8}\)

**Prawidłowa odpowiedź:** a) D
b) A

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**a)**

Sinus opisuje stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta względem przeciwprostokątnej. W takim razie:

$$sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}{8}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-714.png)

**b)**

Krok 1. Obliczenie długości przyprostokątnej \(AB\).

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

$$|AB|^2+(\sqrt{15})^2=8^2 \\

|AB|^2+15=64 \\

|AB|^2=49 \\

|AB|=7 \quad\lor\quad |AB|=-7$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, ponieważ długość boku musi być dodatnia, zatem \(|AB|=7\).

Krok 2. Obliczenie długości boku \(AD\).

Bok \(AD\) będzie nam potrzebny do obliczenia tangensa. Skoro \(|AB|=7\) oraz \(|DB|=6\), to:

$$|AD|=7-6 \\

|AD|=1$$

Krok 3. Obliczenie tangensa kąta \(ADC\).

Tangens opisuje stosunek między długością przyprostokątnej leżącej naprzeciwko danego kąta względem przyprostokątnej przy tym kącie. Skoro tak, to:

$$tg\alpha=\frac{\sqrt{15}}{1} \\

tg\alpha=\sqrt{15}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-grudzien-2024