---
route: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-36
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-36
source: Matura próbna CKE grudzień 2023
category: Optymalizacja
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-36

**Źródło:** Matura próbna CKE grudzień 2023
**Kategoria:** Optymalizacja
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość \(12\) dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa \(18\) dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(3\) dm, \(P_{max}=112{,}5\) dm\(^2\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie równań.

Z treści zadania wynika, że krótsza podstawa (oznaczmy ją jako \(b\)) oraz wysokość \(h\) mają mieć łączną długość równą \(18\) dm. Zapiszmy zatem, że:

$$b+h=18 \\

b=18-h$$

Przy okazji możemy zapisać założenie, że \(b\) musi być mniejsze od \(12\) (bo w przeciwnym wypadku nie będzie to krótsza podstawa) i oczywiście musi być większe od \(0\), zatem \(b\in(0,12)\).

Pole trapezu obliczamy ze wzoru:

$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h$$

Wiemy, że \(a=12\) oraz \(b=18-h\), zatem moglibyśmy zapisać, że:

$$P=\frac{1}{2}(12+18-h)\cdot h \\

P=\frac{1}{2}(30-h)\cdot h \\

P=(15-\frac{1}{2}h)\cdot h \\

P=15h-\frac{1}{2}h^2 \\

P=-\frac{1}{2}h^2+15h$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(h)\).

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni trapezu można opisać wzorem \(P=-\frac{1}{2}h^2+15h\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(h\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(h)=-\frac{1}{2}h^2+15h\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\). Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(h\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(h\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:

$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\

x_{W}=\frac{-15}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \\

x_{W}=\frac{-15}{-1} \\

x_{W}=15$$

Wyliczyliśmy zatem, że pole powierzchni będzie największe gdy \(h=15\).

Krok 4. Wyznaczenie długości drugiej podstawy.

Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć długość krótszej podstawy, którą oznaczyliśmy jako \(b\). Zapisaliśmy sobie wcześniej, że \(b=18-h\), zatem:

$$b=18-15 \\

b=3 \text{ dm}$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trapezu.

Na koniec musimy obliczyć pole trapezu. Skorzystamy ze standardowego wzoru na pole trapezu, bo znamy wszystkie miary naszego trapezu, czyli \(a=12\), \(b=3\) oraz \(h=15\). Zatem:

$$P=\frac{1}{2}\cdot(12+3)\cdot15 \\

P=\frac{1}{2}\cdot15\cdot15 \\

P=112{,}5 \text{ dm}^2$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/optymalizacja
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-grudzien-2023