---
route: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-30
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-30
source: Matura próbna CKE grudzień 2023
category: Stereometria
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-30

**Źródło:** Matura próbna CKE grudzień 2023
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(384\). Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{4}{3}\) (zobacz rysunek). Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(h=10\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Spójrzmy na trójkąt prostokątny, który został zaznaczony na rysunku. Mamy informację, że \(tg\alpha=\frac{4}{3}\) i to będzie nasz punkt wyjścia do zapisania pewnych oznaczeń. Moglibyśmy zapisać, że w takiej sytuacji przyprostokątna będąca jednocześnie wysokością ostrosłupa ma długość \(4x\), a przyprostokątna przy kącie \(\alpha\) (która jest połową długości krawędzi podstawy) będzie miała długość \(3x\). Od razu też możemy dodać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa), że przeciwprostokątna tego trójkąta (która jest jednocześnie poszukiwaną wysokością ściany bocznej) będzie miała długość \(5x\).

Krok 2. Zapisanie długości krawędzi podstawy i pola podstawy.

Krawędź podstawy będzie dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej analizowanego przed chwilą trójkąta prostokątnego, zatem zapisalibyśmy, że:

$$a=2\cdot3x \\

a=6x$$

W podstawie naszego ostrosłupa znajduje się kwadrat (ponieważ jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny), zatem od razu możemy zapisać, że jego pole jest równe:

$$P_{p}=(6x)^2 \\

P_{p}=36x^2$$

Krok 3. Wyznaczenie długości \(x\).

Z treści zadania wynika, że objętość naszej bryły jest równa \(384\). Wiemy już, że \(P_{p}=36x^2\) oraz \(H=4x\), zatem korzystając ze wzoru na objętość możemy zapisać, że:

$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\

384=\frac{1}{3}\cdot36x^2\cdot4x \\

384=12x^2\cdot4x \\

384=48x^3 \\

x^3=8 \\

x=2$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.

Na koniec została już tylko formalność. Celem zadania jest poznanie wysokości ściany bocznej, a skoro ta ma długość \(5x\), to możemy zapisać, że:

$$h_{b}=5\cdot2 \\

h_{b}=10$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-grudzien-2023