--- route: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-28 title: Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-28 source: Matura próbna CKE grudzień 2023 category: Planimetria points: 2 type: open --- # Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-28 **Źródło:** Matura próbna CKE grudzień 2023 **Kategoria:** Planimetria **Punkty:** 2 **Typ:** otwarte ## Treść zadania Dany jest okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S\). Średnica \(AB\) tego okręgu przecina cięciwę \(CD\) w punkcie \(P\) (zobacz rysunek). Ponadto: \(|PB| = 4\), \(|PC| = 8\) oraz \(|PD| = 5\). Oblicz promień okręgu \(O\). Zapisz obliczenia. **Prawidłowa odpowiedź:** \(r=7\) ## Wzór Nowa formuła ## Rozwiązanie Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów \(ACP\) oraz \(BPD\). Spójrzmy na kąty \(ABD\) i \(ACD\). Są to dwa kąty wpisane, które oparte są na tym samym łuku, co z kolei prowadzi nas do wniosku, że miary tych kątów będą jednakowe. Analogicznie jest w przypadku kątów \(BAC\) oraz \(BDC\) - tutaj także mamy kąty oparte na tym samym łuku, więc miara tych dwóch kątów będzie taka sama. Dodatkowo trzeba zauważyć, że kąty \(APC\) oraz \(BPD\) są kątami wierzchołkowymi, czyli w tej parze miara kątów również będzie jednakowa. To wszystko sprawia, że trójkąty \(ACP\) oraz \(BPD\) będą na pewno trójkątami podobnymi (cecha: kąt-kąt-kąt). Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(PA\). Z podobieństwa trójkątów wynika, że możemy ułożyć następujące równanie: $$\frac{|PA|}{|PD|}=\frac{|PC|}{|PB|}$$ Podstawiając znane długości boków, otrzymamy: $$\frac{|PA|}{5}=\frac{8}{4}$$ Mnożąc teraz na krzyż wyjdzie nam, że: $$|PA|\cdot4=5\cdot8 \\ 4|PA|=40 \\ |PA|=10$$ Krok 3. Obliczenie długości średnicy okręgu. Z rysunku wynika, że średnica \(AB\) jest równa sumie odcinków \(PA\) oraz \(PB\), zatem: $$|AB|=10+4 \\ |AB|=14$$ Krok 4. Obliczenie długości promienia okręgu. Promień jest zawsze równy połowie średnicy, zatem: $$r=14:2 \\ r=7$$ --- Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-grudzien-2023