---
route: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-25
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-25
source: Matura próbna CKE grudzień 2023
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-25

**Źródło:** Matura próbna CKE grudzień 2023
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(K = (-7, -2)\) oraz \(L = (-1, 4)\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego \(KLM\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole trójkąta \(KLM\) jest równe

## Odpowiedzi

- **A.** \( 17\sqrt{2} \)
- **B.** \( 17\sqrt{3} \)
- **C.** \( 18\sqrt{2} \)
- **D.** \( 18\sqrt{3} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(KL\).

Odcinek \(KL\) jest jednym z boków trójkąta równobocznego, więc jeśli poznamy jego miarę, to będziemy bardzo blisko wyznaczenia pola trójkąta. Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych wyjdzie nam, że:

$$|KL|=\sqrt{(x_{L}-x_{K})^2+(y_{L}-y_{K})^2} \\

|KL|=\sqrt{(-1-(-7))^2+(4-(-2))^2} \\

|KL|=\sqrt{6^2+6^2} \\

|KL|=\sqrt{36+36} \\

|KL|=\sqrt{72}$$

Możemy oczywiście jeszcze wyłączyć wspólny czynnik przed nawias, rozpisując ten pierwiastek jako \(\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}\), ale prawdę mówiąc nie ma tutaj takiej potrzeby, wręcz postać \(\sqrt{72}\) będzie dla nas za chwilę wygodniejsza.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.

Wiemy już, że nasz trójkąt równoboczny ma wszystkie boki o długości \(a=6\sqrt{2}\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:

$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\

P=\frac{(\sqrt{72})^2\sqrt{3}}{4} \\

P=\frac{72\sqrt{3}}{4} \\

P=18\sqrt{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-grudzien-2023