---
route: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-21
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-21
source: Matura próbna CKE grudzień 2023
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-21

**Źródło:** Matura próbna CKE grudzień 2023
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}\) . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{\sqrt{5}}{2} \)
- **B.** \( \frac{2}{3} \)
- **C.** \( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)
- **D.** \( \frac{3\sqrt{5}}{5} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń w trójkącie prostokątnym.

Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej. Wiedząc, że \(sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\) możemy przyjąć, że przyprostokątna naprzeciwko kąta \(\alpha\) ma długość \(\sqrt{5}x\), natomiast przeciwprostokątna będzie równa \(3x\).

Krok 2. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.

Do poznania wartości tangensa potrzebujemy jeszcze długości drugiej przyprostokątnej, a poznamy ją korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$$(\sqrt{5}x)^2+b^2=(3x)^2 \\

5x^2+b^2=9x^2 \\

b^2=4x^2 \\

b=2x \quad\lor\quad b=-2x$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(b=2x\).

Krok 3. Obliczenie tangensa.

Znając długości obydwu przyprostokątnych, możemy zapisać, że:

$$tg\alpha=\frac{\sqrt{5}x}{2x} \\

tg\alpha=\frac{\sqrt{5}}{2}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-grudzien-2023