---
route: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-20
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-20
source: Matura próbna CKE grudzień 2023
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-20

**Źródło:** Matura próbna CKE grudzień 2023
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dane są dwa kąty o miarach \(\alpha\) oraz \(\beta\), spełniające warunki: \(\alpha \in (0^\circ, 180^\circ)\) i \(\operatorname{tg} \alpha = -\frac{2}{3}\) oraz \(\beta \in (0^\circ, 180^\circ)\) i \(\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}\). Na rysunkach A-F w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) zaznaczono różne kąty - w tym kąt o mierze \(\alpha\) oraz kąt o mierze \(\beta\). Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią \(Ox\), a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: \(A\) lub \(B\), lub \(C\), lub \(D\), lub \(E\), lub \(F\). Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F. 1. Kąt \(\alpha\) jest zaznaczony na rysunku 2. Kąt \(\beta\) jest zaznaczony na rysunku

**Prawidłowa odpowiedź:** 1.B 2.D

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Omówienie kąta \(\alpha\).

Opisana w treści zadania sytuacja związana jest z następującymi wzorami, które możemy znaleźć w tablicach matematycznych:

\(sin\alpha=\frac{y}{r} \\

cos\alpha=\frac{x}{r} \\

tg\alpha=\frac{y}{x}\)

W powyższych wzorach \(x\) oraz \(y\) to współrzędne punktu, który znajduje się na jednym z ramion zaznaczonego kąta, natomiast \(r\) to odległość tego punktu od początku układu współrzędnych.

Zacznijmy zatem od kąta \(\alpha\). Wiemy, że \(tg\alpha=-\frac{2}{3}\). Z wypisanych wcześniej wzorów wynika więc, że \(x=3\) oraz \(y=-2\), albo też \(x=-3\) oraz \(y=2\) (nie są to co prawda jedyne możliwości, bo równie dobrze mogłoby to być np. \(x=6\) oraz \(y=-4\), ale właśnie te dwie pary współrzędnych należałoby przeanalizować w pierwszej kolejności). Mówiąc bardziej obrazowo, szukamy na rysunkach sytuacji, w której punkt leżący na ramieniu kąta przyjmuje współrzędne \((3,-2)\) lub \((-3,2)\) i widzimy, że właśnie ten drugi przypadek znalazł się na rysunku z odpowiedzi B.

Krok 2. Omówienie kąta \(\beta\).

Z zapisu \(cos\beta=\frac{1}{\sqrt{10}}\) wynika, że pasowałaby nam taka odpowiedź, w której \(x=1\), a odległość punktu od początku układu współrzędnych to \(r=\sqrt{10}\). Tylko rysunek z odpowiedzi D ma zaznaczony punkt o współrzędnej \(x=1\), więc to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź. Odległość \(r=\sqrt{10}\) też się tutaj zgadza.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-grudzien-2023