---
route: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-11
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-11
source: Matura próbna CKE grudzień 2023
category: Funkcja kwadratowa
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-11

**Źródło:** Matura próbna CKE grudzień 2023
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

**a)** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

A. \((-\infty,-2\rangle\)
B. \((-\infty,4\rangle\)
C. \(\langle -2,+\infty)\)
D. \(\langle 4,+\infty)\)

**b)** Zapisz w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne.

**c)** Wybierz właściwą odpowiedź spośród oznaczonych literami A-F. Wzór funkcji \(f\) w postaci iloczynowej to:

A. \(f(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x-6)\)
B. \(f(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-2\)
C. \(f(x)=2(x-2)(x-6)\)
D. \(f(x)=\frac{1}{2}(x+4)^2-2\)
E. \(f(x)=2(x+2)(x+6)\)
F. \(f(x)=2(x+4)^2-2\)

**d)** Wybierz właściwą odpowiedź spośród oznaczonych literami A-F. Wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej to:

A. \(f(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x-6)\)
B. \(f(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-2\)
C. \(f(x)=2(x-2)(x-6)\)
D. \(f(x)=\frac{1}{2}(x+4)^2-2\)
E. \(f(x)=2(x+2)(x+6)\)
F. \(f(x)=2(x+4)^2-2\)

**Prawidłowa odpowiedź:** a) C
b) (2,6)
c) A
d) B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**a)**

Zbiór wartości odczytujemy z osi \(Oy\). Widzimy, że najmniejszą wartością przyjmowaną przez funkcję będzie \(y=-2\), a potem ta funkcja rośnie aż do nieskończoności. W takim razie zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(\langle-2,+\infty)\).

**b)**

Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów od \(x=2\) (bez tego argumentu, bo dla niego przyjmowana wartość jest równa \(0\)), aż do argumentu \(x=6\) (także bez tego argumentu). Zapisalibyśmy więc, że wartości ujemne są przyjmowane w przedziale \(x\in(2,6)\).

**c)**

Zacznijmy od postaci iloczynowej, czyli funkcji typu \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\), gdzie \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) to miejsca zerowe funkcji. Z wykresu odczytujemy, że nasza funkcja ma dwa miejsca zerowe i są to \(x_{1}=2\) oraz \(x_{2}=6\). Podstawiając te dane do wzoru, otrzymamy:

$$f(x)=a(x-2)(x-6)$$

Do pełnego wzoru brakuje nam znajomości współczynnika \(a\). Aby go poznać, musimy podstawić współrzędne jakiegoś punktu, przez który przechodzi nasza funkcja. Przykładowo pasuje nam punkt o współrzędnych \((0,6)\), zatem podstawiając jego współrzędne, otrzymamy następującą sytuację:

$$6=a(0-2)(0-6) \\

6=a(-2)(-6) \\

6=12a \\

a=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$$

To oznacza, że pierwszym poszukiwanym wzorem będzie \(f(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x-6)\), czyli odpowiedź **A**.

**d)**

Z wykresu odczytujemy, że wierzchołkiem naszej paraboli jest punkt o współrzędnych \((4,-2)\). Postać kanoniczną zapisujemy jako \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to właśnie współrzędne naszego wierzchołka. Podstawiając zatem \(p=4\) oraz \(q=-2\), otrzymamy:

$$f(x)=a(x-4)^2+(-2) \\

f(x)=a(x-4)^2-2$$

Ponownie brakuje nam współczynnika \(a\), ale to będzie ta sama wartość jak obliczona w postaci iloczynowej, czyli \(a=\frac{1}{2}\). Możemy zatem zapisać, że pełnym wzorem naszej funkcji będzie:

$$f(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-2$$

Jest to odpowiedź **B**.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-grudzien-2023