---
route: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-05
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-05
source: Matura próbna CKE grudzień 2023
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-05

**Źródło:** Matura próbna CKE grudzień 2023
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \(3n^2+4n+1\) jest podzielna przez \(4\).

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Jeżeli \(n\) ma być liczbą nieparzystą, to moglibyśmy zapisać ją w postaci \(n=2x+1\), gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą (jest to standardowy sposób zapisu liczb nieparzystych). W takiej sytuacji nasza liczba przyjęłaby postać:

$$3\cdot(2x+1)^2+4\cdot(2x+1)+1= \\

=3\cdot(4x^2+4x+1)+8x+4+1= \\

=12x^2+12x+3+8x+4+1= \\

=12x^2+20x+8= \\

=4(3x^2+5x+2)$$

Wyłączając czwórkę przed nawias pokazaliśmy, że nasza liczba jest podzielna przez \(4\), a wynikiem tego dzielenia jest po prostu \(3x^2+5x+2\), które jest liczbą całkowitą. Dowodzenie możemy zatem uznać za skończone.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-grudzien-2023