---
route: /task/matura-maj-2026-30
title: Zadanie matura-maj-2026-30
source: Matura maj 2026
category: Stereometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2026-30

**Źródło:** Matura maj 2026
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość \(8\sqrt{3}\). Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** V = 128

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**Krok 1. Bok podstawy.**

Podstawą jest kwadrat o przekątnej \(d=a\sqrt{2}\). Stąd:

$$a=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{6}$$

**Krok 2. Wysokość ostrosłupa.**

Wierzchołek ostrosłupa leży nad środkiem przekątnej. Połowa przekątnej to odcinek od środka podstawy do wierzchołka kwadratu:

$$\tfrac{d}{2}=4\sqrt{3}$$

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy ma miarę \(30^\circ\). Z definicji tangensa w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnej \(\tfrac{d}{2}\) i wysokości \(H\):

$$\operatorname{tg}30^\circ=\frac{H}{\tfrac{d}{2}}=\frac{H}{4\sqrt{3}}$$

$$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{4\sqrt{3}}\quad\Rightarrow\quad H=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\cdot 3}{3}=4$$

**Krok 3. Objętość.**

Pole podstawy:

$$P_p=a^{2}=(4\sqrt{6})^{2}=16\cdot 6=96$$

Objętość ostrosłupa:

$$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 96\cdot 4=128$$

**Odpowiedź:** \(V=128\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2026