---
route: /task/matura-maj-2026-23
title: Zadanie matura-maj-2026-23
source: Matura maj 2026
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2026-23

**Źródło:** Matura maj 2026
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(|KM|=a\) oraz \(|LM|=b\). Dwusieczna kąta \(LMK\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\). Wykaż, że stosunek pola trójkąta \(KNM\) do pola trójkąta \(NLM\) jest równy \(\dfrac{a}{b}\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód oparty na wspólnej wysokości i twierdzeniu o dwusiecznej.

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Dowód

**Krok 1. Wspólna wysokość trójkątów \(KNM\) i \(NLM\).**

Trójkąty \(KNM\) oraz \(NLM\) mają wspólny wierzchołek \(M\), a ich podstawy \(KN\) i \(NL\) leżą na tej samej prostej (na boku \(KL\)). Zatem mają **tę samą wysokość** \(h\) opuszczoną z wierzchołka \(M\) na prostą \(KL\).

Stąd:

$$\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\tfrac{1}{2}\cdot|KN|\cdot h}{\tfrac{1}{2}\cdot|NL|\cdot h}=\frac{|KN|}{|NL|}$$

**Krok 2. Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego.**

Dwusieczna kąta \(\angle LMK\) wychodząca z wierzchołka \(M\) dzieli przeciwległy bok \(KL\) w stosunku boków przyległych:

$$\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{|KM|}{|LM|}=\frac{a}{b}$$

**Krok 3. Wniosek.**

Łącząc oba kroki:

$$\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{a}{b}\qquad\blacksquare$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2026