---
route: /task/matura-maj-2026-07
title: Zadanie matura-maj-2026-07
source: Matura maj 2026
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2026-07

**Źródło:** Matura maj 2026
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \(7n^{2}+21n\) jest podzielna przez 14.

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód: 7n²+21n = 7n(n+3) = 14k.

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Dowód

Wyłączamy wspólny czynnik:

$$7n^{2}+21n=7n(n+3)$$

Wystarczy wykazać, że \(n(n+3)\) jest liczbą parzystą dla każdej liczby całkowitej \(n\). Rozważamy dwa przypadki ze względu na parzystość \(n\).

**Przypadek 1.** \(n\) jest parzyste, czyli \(n=2k\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\). Wtedy:

$$n(n+3)=2k\cdot(2k+3)=2\cdot k(2k+3)$$

co jest liczbą parzystą.

**Przypadek 2.** \(n\) jest nieparzyste, czyli \(n=2k+1\). Wtedy \(n+3=2k+4=2(k+2)\), więc:

$$n(n+3)=(2k+1)\cdot 2(k+2)=2\cdot(2k+1)(k+2)$$

co również jest liczbą parzystą.

W obu przypadkach istnieje liczba całkowita \(m\) taka, że \(n(n+3)=2m\). Zatem:

$$7n^{2}+21n=7\cdot 2m=14m$$

co dowodzi, że liczba \(7n^{2}+21n\) jest podzielna przez 14 dla każdej liczby całkowitej \(n\). \(\blacksquare\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2026