---
route: /task/matura-maj-2025-38
title: Zadanie matura-maj-2025-38
source: Matura maj 2025
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2025-38

**Źródło:** Matura maj 2025
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(A B C D E F G H\), w których krawędź \(BC\) ma długość \(4\) oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka \(B\) jest równa \(15\) (zobacz rysunek). Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\). Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\) krawędzi \(AB\) tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=\frac{11}{2}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie równań.

Z treści zadania wiemy, że \(|BC|=4\). Dodatkowo przyjmijmy, że druga krawędź podstawy ma długość \(x\), a wysokość oznaczmy jako \(h\). Z treści zadania wynika, że suma trzech długości krawędzi jest równa \(15\), zatem:

$$4+x+h=15 \\

x+h=11 \\

h=11-x$$

Pole powierzchni całkowitej moglibyśmy obliczyć jako:

$$P=2\cdot(4\cdot x+4\cdot h+x\cdot h) \\

P=2\cdot(4x+4h+xh) \\

P=8x+8h+2xh$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).

Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, podstawmy wartość \(h\) z równania \(h=11-x\) do równania \(P=8x+2xh+8h\), zatem:

$$P=8x+2x\cdot(11-x)+8\cdot(11-x) \\

P=8x+22x-2x^2+88-8x \\

P=-2x^2+22x+88$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni całkowitej można opisać wyrażeniem \(-2x^2+22x+88\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)). Tym samym moglibyśmy zapisać, że \(P(x)=-2x^2+22x+88\).

Krok 3. Zapisanie założeń.

Wszystkie długości krawędzi muszą być większe od zera, zatem:

$$x>0 \quad\land\quad 11-x>0 \\

x>0 \quad\land\quad 11>x \\

x>0 \quad\land\quad x<11$$

Otrzymane wyniki oznaczają, że nasz \(x\) musi być większy od zera i mniejszy od \(11\), zatem dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0,11)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-2\)). Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:

$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\

x_{W}=\frac{-22}{2\cdot(-2)} \\

x_{W}=\frac{-22}{-4} \\

x_{W}=5{,}5$$

Otrzymany wynik mieści się w wyznaczonej wcześniej dziedzinie funkcji, a to oznacza, że pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu będzie największe, gdy \(x=5{,}5\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2025