---
route: /task/matura-maj-2025-32
title: Zadanie matura-maj-2025-32
source: Matura maj 2025
category: Stereometria
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2025-32

**Źródło:** Matura maj 2025
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Tworząca stożka ma długość \(8\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(120^{\circ}\). Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=64\pi\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Analiza przekroju osiowego stożka.

Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym, a wysokość stożka dzieli ten kąt na dwie równe części. Skoro kąt rozwarcia ma miarę \(120°\), to po każdej stronie wysokości powstaje trójkąt prostokątny o kątach \(30°, 60°, 90°\).

W takim trójkącie przy wierzchołku stożka leży kąt \(60°\), przy podstawie kąt \(30°\), tworząca o długości \(8\) jest przeciwprostokątną, wysokość stożka \(H\) leży naprzeciwko kąta \(30°\), a promień podstawy \(r\) leży naprzeciwko kąta \(60°\).

Krok 2. Obliczenie wysokości i promienia podstawy stożka.

Korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\) wiemy, że wysokość stożka będzie dwa razy krótsza od tworzącej, zatem:

$$H=8:2 \\

H=4$$

I ponownie korzystając z własności tego trójkąta możemy stwierdzić, że promień podstawy stożka będzie \(\sqrt{3}\) razy większy od jego wysokości, zatem:

$$r=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie objętości stożka.

Korzystając ze wzoru na objętość stożka, możemy zapisać, że:

$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot(4\sqrt{3})^2\cdot 4 \\

V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot3\cdot4\cdot\pi \\

V=64\pi$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2025