---
route: /task/matura-maj-2025-31
title: Zadanie matura-maj-2025-31
source: Matura maj 2025
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2025-31

**Źródło:** Matura maj 2025
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \(P=(0,0)\) leży na okręgu \(\mathcal{O}\) o środku w punkcie \(S=(2,4)\). Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem

## Odpowiedzi

- **A.** \((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=2\sqrt{5}\)
- **B.** \((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20\)
- **C.** \((x+2)^{2}+(y+4)^{2}=2\sqrt{5}\)
- **D.** \((x+2)^{2}+(y+4)^{2}=20\)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości promienia okręgu.

Promień okręgu będzie równy długości odcinka \(PS\), który łączy punkt \(P\) ze środkiem okręgu \(S\).

Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, ponieważ znamy współrzędne punktów \(S\) oraz \(P\).

$$|PS|=\sqrt{(x_{S}-x_{P})^2+(y_{S}-y_{P})^2} \\

|PS|=\sqrt{(2-0)^2+(4-0)^2} \\

|PS|=\sqrt{2^2+4^2} \\

|PS|=\sqrt{4+16} \\

|PS|=\sqrt{20}$$

Teoretycznie moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, ale tutaj nie jest to konieczne, zwłaszcza że za chwilę do równania okręgu będziemy potrzebować wartości \(r^2\). Możemy więc zapisać, że \(r=\sqrt{20}\).

Krok 2. Zapisanie równania okręgu.

Równanie okręgu zapisujemy jako \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to promień okręgu. W naszym przypadku \(a=2\) oraz \(b=4\), natomiast \(r^2=20\). Skoro tak, to poszukiwanym równaniem okręgu będzie:

$$(x-2)^2+(y-4)^2=20$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2025