---
route: /task/matura-maj-2025-28
title: Zadanie matura-maj-2025-28
source: Matura maj 2025
category: Trygonometria
points: 1
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2025-28

**Źródło:** Matura maj 2025
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=11,|BC|=12\) oraz \(|\sphericalangle ABC|=60^{\circ}\) (zobacz rysunek). Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny. P F Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(33\sqrt{3}\). P F

**Prawidłowa odpowiedź:** FP

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.

Chcąc poznać długość trzeciego boku trójkąta, możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos\gamma$$

Podstawiając miary z treści zadania, otrzymamy:

$$c^2=11^2+12^2-2\cdot11\cdot12\cdot \cos60° \\

c^2=121+144-264\cdot\frac{1}{2} \\

c^2=265-132 \\

c^2=133 \\

c=\sqrt{133} \quad\lor\quad c=-\sqrt{133}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy (bo długość boku musi być dodatnia), zatem zostaje nam \(c=\sqrt{133}\). Otrzymany wynik jest więc różny od pozostałych miar tego trójkąta, co prowadzi nas do wniosku, że ten trójkąt ma wszystkie boki różnej długości. Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.

Chcąc obliczyć pole tego trójkąta, możemy skorzystać z następującego wzoru:

$$P=\frac{1}{2}ab\cdot \sin\alpha$$

Podstawiając znane miary do tego wzoru, otrzymamy:

$$P=\frac{1}{2}\cdot11\cdot12\cdot \sin60° \\

P=66\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\

P=33\sqrt{3}$$

Zdanie jest więc prawdą.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2025