---
route: /task/matura-maj-2025-23
title: Zadanie matura-maj-2025-23
source: Matura maj 2025
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2025-23

**Źródło:** Matura maj 2025
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, przyprostokątna \(AB\) ma długość \(6\), a środkowa \(CD\) ma długość \(5\). Oznaczmy kąt \(ADC\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(ABC\) przez \(\beta\) (zobacz rysunek).

**a)** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

A. \(\dfrac{2}{3}\)
B. \(\dfrac{3}{4}\)
C. \(\dfrac{4}{5}\)
D. \(\dfrac{4}{3}\)

**b)** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Sinus kąta \(\beta\) jest równy

A. \(\frac{2}{\sqrt{13}}\)
B. \(\frac{3}{\sqrt{13}}\)
C. \(\frac{5}{2\sqrt{13}}\)
D. \(\frac{4}{5}\)

**Prawidłowa odpowiedź:** a) D
b) A

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**a)** Z treści zadania wynika, że punkt \(D\) dzieli nam bok \(AB\) na dwie równe części. To prowadzi nas do wniosku, że \(|AD|=6:2=3\).

Spójrzmy teraz na trójkąt \(ADC\). Jest to trójkąt prostokątny, w którym dolna przyprostokątna ma długość \(3\), natomiast przeciwprostokątna ma długość \(5\). Widzimy więc, że jest to klasyczny trójkąt pitagorejski o bokach \(3\), \(4\) oraz \(5\). Jeśli tego nie widzimy, to zawsze możemy długość drugiej przyprostokątnej obliczyć z twierdzenia Pitagorasa.

Tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko naszego kąta, względem przyprostokątnej, która leży przy tym kącie. W naszym przypadku tangens będzie zatem równy:

$$\text{tg}\,\alpha=\frac{4}{3}$$

**b)** Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej \(BC\).

Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Wiemy, że przyprostokątne tego trójkąta mają długość \(4\) oraz \(6\). Do obliczenia sinusa będziemy potrzebować jeszcze przeciwprostokątnej, którą możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$$4^2+6^2=c^2 \\

16+36=c^2 \\

c^2=52 \\

c=\sqrt{52} \quad\lor\quad c=-\sqrt{52}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku trójkąta musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(c=\sqrt{52}\), co możemy jeszcze rozpisać jako:

$$c=\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}$$

Krok 2. Obliczenie sinusa kąta \(\beta\).

Sinus opisuje nam stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta, względem przeciwprostokątnej. W naszym przypadku moglibyśmy więc zapisać, że:

$$\sin\beta=\frac{4}{2\sqrt{13}} \\

\sin\beta=\frac{2}{\sqrt{13}}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2025