---
route: /task/matura-maj-2025-20
title: Zadanie matura-maj-2025-20
source: Matura maj 2025
category: Ciągi
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2025-20

**Źródło:** Matura maj 2025
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wyznacz wartość \(m\), dla której trzywyrazowy ciąg \[ \left(2 m+11, m^{2}+3,5-m\right) \] jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(m=\frac{5}{2}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie równania.

Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość:

$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Ten ciąg będzie więc arytmetyczny wtedy, gdy spełni powyższą równość. Podstawiając zatem znane nam wyrazy, otrzymamy:

$$m^2+3=\frac{2m+11+5-m}{2} \\

m^2+3=\frac{m+16}{2} \\

2m^2+6=m+16 \\

2m^2-m-10=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Jest to równanie w postaci ogólnej, więc z pomocą przyjdzie nam delta:

Współczynniki: \(a=2,\;b=-1,\;c=-10\)

$$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-10)=1-(-80)=1+80=81 \\

\sqrt{\Delta}=\sqrt{81}=9$$

$$m_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-1)-9}{2\cdot2}=\frac{1-9}{4}=\frac{-8}{4}=-2 \\

m_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-1)+9}{2\cdot2}=\frac{1+9}{4}=\frac{10}{4}=2{,}5$$

Krok 3. Ustalenie, kiedy ciąg będzie malejący.

Wiemy już, że ciąg będzie arytmetyczny, gdy \(m=-2\) oraz gdy \(m=2{,}5\). Musimy jeszcze ustalić, dla którego z tych przypadków, ciąg ten będzie malejący. Podstawmy zatem wyznaczone \(m\) do wyrażeń z treści zadania i zobaczmy co otrzymamy:

Gdy \(m=-2\):

\(a_{1}=2\cdot(-2)+11=-4+11=7 \\

a_{2}=(-2)^2+3=4+3=7 \\

a_{3}=5-(-2)=5+2=7\)

Gdy \(m=2{,}5\):

\(a_{1}=2\cdot2{,}5+11=5+11=16 \\

a_{2}=2{,}5^2+3=6{,}25+3=9{,}25 \\

a_{3}=5-2{,}5=2{,}5\)

Widzimy więc, że dla \(m=-2\) ciąg jest stały, a dla \(m=2{,}5\) ciąg jest rzeczywiście malejący (różnica tego ciągu będzie równa \(r=-6{,}75\)). Stąd też jedyną poprawną odpowiedzią do tego zadania będzie \(m=2{,}5\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2025