---
route: /task/matura-maj-2025-17
title: Zadanie matura-maj-2025-17
source: Matura maj 2025
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2025-17

**Źródło:** Matura maj 2025
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) jest określony następująco: \[ \left\{\begin{array}{l} a_{1}=2 \\ a_{n+1}=2 a_{n}+1 \end{array} \right. \] dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

**a)** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Trzeci wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy

A. \(4\)
B. \(5\)
C. \(7\)
D. \(11\)

**b)** Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny. P F
Ciąg \((a_{n})\) jest geometryczny. P F

**Prawidłowa odpowiedź:** a) D
b) FF

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**a)** Obliczamy kolejne wyrazy ciągu, korzystając z zależności rekurencyjnej:

$$a_{1}=2$$

$$a_{2}=2\cdot a_{1}+1=2\cdot 2+1=5$$

$$a_{3}=2\cdot a_{2}+1=2\cdot 5+1=11$$

**b)** Już po wypisaniu pierwszych trzech wyrazów widać, że ten ciąg ani nie jest arytmetyczny, ani nie jest geometryczny.

Sprawdźmy: różnice kolejnych wyrazów wynoszą \(a_2-a_1=5-2=3\) oraz \(a_3-a_2=11-5=6\). Różnice nie są stałe, więc ciąg nie jest arytmetyczny.

Ilorazy kolejnych wyrazów wynoszą \(\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{2}\) oraz \(\frac{a_3}{a_2}=\frac{11}{5}\). Ilorazy nie są stałe, więc ciąg nie jest geometryczny.

Oba zdania są fałszywe.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2025