---
route: /task/matura-maj-2025-05
title: Zadanie matura-maj-2025-05
source: Matura maj 2025
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2025-05

**Źródło:** Matura maj 2025
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^{2}+2n+7\) jest podzielna przez \(4\).

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Rozpisanie podanej liczby.

W algebrze liczby parzyste możemy zapisać jako \(2k\), a liczby nieparzyste jako \(2k+1\) (gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą). Podstawiając zatem wyrażenie \(2k+1\) do naszej liczby, otrzymamy:

$$3\cdot(2k+1)^2+2\cdot(2k+1)+7= \\

=3\cdot(4k^2+4k+1)+4k+2+7= \\

=12k^2+12k+3+4k+2+7= \\

=12k^2+16k+12= \\

=4\cdot(3k^2+4k+3)$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.

Wartość wyrażenia \(3k^2+4k+3\) jest dodatnia, a tym samym wyłączona czwórka przed nawias oznacza, że liczba jest jak najbardziej podzielna przez \(4\), co należało udowodnić.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2025