---
route: /task/matura-maj-2024-37
title: Zadanie matura-maj-2024-37
source: Matura maj 2024
category: Optymalizacja
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2024-37

**Źródło:** Matura maj 2024
**Kategoria:** Optymalizacja
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć \(36\) metrów bieżących siatki. Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę. Oblicz wymiary \(x\) oraz \(y\) jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=\frac{9}{2}\), \(y=3\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie równania wiążącego \(x\) i \(y\).

Ogrodzenie składa się z czterech odcinków o długości \(x\) (w tym ścianek wewnętrznych) oraz sześciu odcinków o długości \(y\). Zatem:

$$4x+6y=36$$

Krok 2. Wyrażenie pola w funkcji jednej zmiennej.

Suma pól trzech wybiegów to \(P=3\cdot(x\cdot y)=3xy\). Z równania \(4x+6y=36\) wyznaczamy \(y\):

$$y=\frac{36-4x}{6}=-\frac{2}{3}x+6$$

Podstawiamy do wzoru na pole:

$$P=3x\cdot\left(-\frac{2}{3}x+6\right)=3x\cdot\left(-\frac{2}{3}x+6\right)=-2x^2+18x$$

Dziedzina: \(x>0\) oraz \(y>0\), czyli \(-\frac{2}{3}x+6>0\), więc \(x<9\). Zatem \(x\in(0;9)\).

Krok 3. Wyznaczenie maksimum funkcji kwadratowej.

Funkcja \(P(x)=-2x^2+18x\) ma współczynnik \(a=-2<0\), więc ramiona paraboli skierowane w dół - wartość największa jest w wierzchołku:

$$x_W=\frac{-b}{2a}=\frac{-18}{2\cdot(-2)}=\frac{-18}{-4}=4{,}5$$

Obliczamy \(y\):

$$y=-\frac{2}{3}\cdot4{,}5+6=-3+6=3$$

Odpowiedź: Suma pól podstaw wybiegów jest największa, gdy \(x=4{,}5\) m oraz \(y=3\) m.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/optymalizacja
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2024