---
route: /task/matura-maj-2024-22
title: Zadanie matura-maj-2024-22
source: Matura maj 2024
category: Trygonometria
points: 2
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2024-22

**Źródło:** Matura maj 2024
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie wspórzędnych \((x, y)\) zaznaczono kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(\operatorname{tg} \alpha=-3\) oraz \(90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\) (zobacz rysunek). Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Prawdziwe są zależności: ............. oraz .............. .

## Odpowiedzi

- **A.** \(\sin \alpha<0\)
- **B.** \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha<0\)
- **C.** \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha>0\)
- **D.** \(\cos \alpha>0\)
- **E.** \(\sin \alpha=-\frac{1}{3} \cos \alpha\)
- **F.** \(\sin \alpha=-3 \cos \alpha\)

**Prawidłowa odpowiedź:** BF

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Pamiętając o tym, że dla kątów z II ćwiartki (\(90°0\)) oraz D (bo \(\cos\alpha0\) i \(\cos\alpha<0\), to ich iloczyn \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha<0\), zatem odpowiedź B jest prawdziwa, a C jest fałszywa.

Teraz ustalmy, która z zależności E lub F jest prawdziwa. Wiemy, że \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-3\), zatem:

$$\sin\alpha=-3\cos\alpha$$

To jest dokładnie zależność F.

Możemy to zweryfikować korzystając ze wzorów. Niech punkt \(P=(-1;3)\) leży na ramieniu kąta \(\alpha\). Wtedy \(r=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}\), a więc:

$$\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \cos\alpha=\frac{-1}{\sqrt{10}}$$

Rzeczywiscie \(\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}=-3\cdot\frac{-1}{\sqrt{10}}=-3\cos\alpha\).

Odpowiedź: B oraz F.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2024