---
route: /task/matura-maj-2024-21
title: Zadanie matura-maj-2024-21
source: Matura maj 2024
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2024-21

**Źródło:** Matura maj 2024
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ciąg arytmetyczny \(\left(a_{n}\right)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \((-1)\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \((-165)\). Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(r=-2\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.

Skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Podstawiamy \(n=15\) oraz \(S_{15}=-165\):

$$-165=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15$$
$$-11=\frac{2a_{1}+14r}{2}$$
$$-22=2a_{1}+14r$$
$$-11=a_{1}+7r$$

Krok 2. Zapisanie drugiego równania.

Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego to \(a_{3}=a_{1}+2r\). Z treści zadania \(a_3=-1\), zatem:

$$a_{1}+2r=-1$$

Krok 3. Rozwiązanie układu równań.

$$\begin{cases} a_{1}+2r=-1 \\ a_{1}+7r=-11 \end{cases}$$

Odejmując pierwsze równanie od drugiego:

$$5r=-10$$
$$r=-2$$

Odpowiedź: Różnica ciągu wynosi \(r=-2\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2024