---
route: /task/matura-maj-2024-03
title: Zadanie matura-maj-2024-03
source: Matura maj 2024
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2024-03

**Źródło:** Matura maj 2024
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}\) przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Musimy wykazać, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2\) przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

**Krok 1.** Rozwijamy wyrażenie.

$$n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 = 3n^2 + 6n + 5$$

**Krok 2.** Wyodrębniamy składniki podzielne przez 3.

$$3n^2 + 6n + 5 = 3(n^2 + 2n) + 5$$

Wyrażenie \(3(n^2 + 2n)\) jest podzielne przez 3 dla każdego \(n\).

**Krok 3.** Sprawdzamy resztę z dzielenia 5 przez 3.

$$5 = 3 \cdot 1 + 2$$

Zatem \(5\) daje resztę \(2\) przy dzieleniu przez 3.

**Krok 4.** Wniosek.

Skoro \(3(n^2 + 2n)\) dzieli się przez 3, to reszta z dzielenia całego wyrażenia przez 3 jest taka sama jak reszta z dzielenia 5 przez 3, czyli wynosi **2**.

Dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2\) daje resztę 2 przy dzieleniu przez 3, co kończy dowód. \(\blacksquare\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2024