---
route: /task/matura-maj-2023-29
title: Zadanie matura-maj-2023-29
source: Matura maj 2023
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2023-29

**Źródło:** Matura maj 2023
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\) i ma długość równą \(6\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=108\), \(P_c=108+72\sqrt{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wysokości ostrosłupa.

Spójrzmy na trójkąt prostokątny, który został narysowany w treści zadania. Jest to klasyczny trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Z własności tego trójkąta wynika, że krótsza przyprostokątna (którą w tym przypadku jest wysokość ostrosłupa) będzie dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Tym samym możemy zapisać, że:

$$H=6:2 \\

H=3$$

Do tego samego wyniku dojdziemy korzystając z funkcji trygonometrycznej - w tej sytuacji sprawdzi się sinus:

$$sin30°=\frac{H}{6} \\

\frac{1}{2}=\frac{H}{6} \\

H=3$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.

Spójrzmy jeszcze raz na nasz trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Z własności tego trójkąta wynika to, że jego dolna (dłuższa) przyprostokątna będzie \(\sqrt{3}\) razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, czyli moglibyśmy zapisać, że ta dolna przyprostokątna ma długość \(x=3\sqrt{3}\).

W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat (wiemy to, ponieważ ostrosłup jest prawidłowy czworokątny). Ta dolna przyprostokątna naszego analizowanego przed chwilą trójkąta będzie więc połową długości boku kwadratu. To oznacza, że w takim razie:

$$a=2\cdot3\sqrt{3} \\

a=6\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola podstawy oraz pola powierzchni bocznej.

W podstawie naszej bryły mamy kwadrat o boku \(a=6\sqrt{3}\), zatem pole powierzchni podstawy będzie równe:

$$P_{p}=(6\sqrt{3})^2 \\

P_{p}=36\cdot3 \\

P_{p}=108$$

Ściany boczne naszej bryły to trójkąty o podstawie \(a=6\sqrt{3}\) oraz wysokości \(h=6\). Mamy cztery takie ściany, więc pole powierzchni bocznej będzie równe:

$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot6\sqrt{3}\cdot6 \\

P_{b}=72\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.

Znając pole podstawy oraz wysokość ostrosłupa, możemy zapisać, że:

$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot108\cdot3 \\

V=108$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.

Znając pole podstawy oraz pole powierzchni bocznej, możemy zapisać, że:

$$P_{c}=P_{p}+P_{b} \\

P_{c}=108+72\sqrt{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2023