---
route: /task/matura-maj-2023-28
title: Zadanie matura-maj-2023-28
source: Matura maj 2023
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2023-28

**Źródło:** Matura maj 2023
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(15\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}\) . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 15\sqrt{2} \)
- **B.** \( 45 \)
- **C.** \( 5\sqrt{2} \)
- **D.** \( 10 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń.

Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to w swojej podstawie ma on kwadrat o boku \(15\), a krawędź boczna jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Przekątna graniastosłupa, oznaczona dalej przez \(s\), łączy wierzchołek dolnej podstawy z przeciwległym wierzchołkiem podstawy górnej. Jej rzutem na płaszczyznę podstawy jest przekątna kwadratu, oznaczona dalej przez \(d\), a kąt \(\alpha\) to kąt między tą przekątną a jej rzutem. Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i krawędź boczna tworzą więc trójkąt prostokątny, w którym \(s\) jest przeciwprostokątną, przekątna podstawy \(d\) jest przyprostokątną leżącą przy kącie \(\alpha\), a krawędź boczna jest przyprostokątną leżącą naprzeciwko tego kąta.

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.

W podstawie mamy kwadrat o boku \(a=15\). Z własności kwadratów wiemy, że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\), zatem w naszym przypadku \(d=15\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.

Cosinus opisuje nam stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do przeciwprostokątnej. Możemy więc zapisać, że:

$$cos\alpha=\frac{d}{s}$$

Podstawiając znane nam dane, otrzymamy:

$$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{15\sqrt{2}}{s}$$

To równanie możemy rozwiązać na wiele sposobów - najprościej będzie chyba wykonać mnożenie na krzyż, zatem:

$$\sqrt{2}\cdot s=3\cdot15\sqrt{2} \\

\sqrt{2}\cdot s=45\sqrt{2} \\

s=45$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2023