---
route: /task/matura-maj-2023-26
title: Zadanie matura-maj-2023-26
source: Matura maj 2023
category: Geometria analityczna
points: 1
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2023-26

**Źródło:** Matura maj 2023
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach \[k: y = \frac{2}{3}x\] \[l: y = -\frac{3}{2}x + 13\] Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3. Proste \(k\) oraz \(l\)

A. są prostopadłe
B. nie są prostopadłe

i przecinają się w punkcie \(P\) o współrzędnych

1. \((-6, -4)\)
2. \((6, 4)\)
3. \((-6, 4)\)

**Prawidłowa odpowiedź:** A2

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Ustalenie, czy proste są prostopadłe.

Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). W naszym przypadku współczynniki \(a\) mają wartość \(\frac{2}{3}\) oraz \(-\frac{3}{2}\), a iloczyn tych dwóch liczb jest równy:

$$\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$

To oznacza, że proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe.

Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się prostych.

Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać miejsce przecięcia się prostych wystarczy rozwiązać następujący układ równań:

$$\begin{cases}

y=\frac{2}{3}x \\

y=-\frac{3}{2}x+13

\end{cases}$$

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:

$$\frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}x+13 \\

\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}x=13 \\

\frac{4}{6}x+\frac{9}{6}x=13 \\

\frac{13}{6}x=13 \quad\bigg/\cdot\frac{6}{13} \\

x=6$$

Wiemy już, że \(x=6\) (co swoją drogą wystarczy już do wybrania prawidłowej odpowiedzi). Chcąc poznać jeszcze współrzędną \(y\) punktu przecięcia wystarczy podstawić wyznaczone \(x=6\) do jednego z równań (np. \(y=\frac{2}{3}x\)), zatem:

$$y=\frac{2}{3}\cdot6 \\

y=4$$

To oznacza, że miejscem przecięcia się tych prostych jest punkt o współrzędnych \((6;4)\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2023