---
route: /task/matura-maj-2023-25
title: Zadanie matura-maj-2023-25
source: Matura maj 2023
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2023-25

**Źródło:** Matura maj 2023
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Trójkąty prostokątne \(T_1\) i \(T_2\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(T_1\) mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta \(T_2\) ma długość \(26\). Oblicz pole trójkąta \(T_2\). Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(120\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta \(T_{1}\).

Z treści zadania wynika, że trójkąt \(T_{1}\) ma przyprostokątne o długości \(5\) i \(12\), zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej:

$$5^2+12^2=c^2 \\

25+144=c^2 \\

c^2=169 \\

c=13 \quad\lor\quad c=-13$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo długość boku jest dodatnia, zatem zostaje nam \(c=13\).

Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.

Z treści zadania wynika, że drugi trójkąt \(T_{2}\) ma przeciwprostokątną o długości \(26\), czyli ma przeciwprostokątną dwa razy dłuższą od trójkąta \(T_{1}\).

To oznacza, że skala podobieństwa tych trójkątów wynosi \(k=2\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(T_{2}\).

Obliczmy najpierw pole trójkąta \(T_{1}\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:

$$P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5 \\

P=30$$

Zgodnie z własnościami trójkątów podobnych, jeśli skala podobieństwa figur jest równa \(k\) to pole powierzchni figury podobnej będzie \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku oznaczałoby to, że pole trójkąta \(T_{2}\) będzie \(4\) razy większe od pola trójkąta \(T_{1}\), zatem:

$$P=4\cdot30 \\

P=120$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2023