---
route: /task/matura-maj-2023-23
title: Zadanie matura-maj-2023-23
source: Matura maj 2023
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2023-23

**Źródło:** Matura maj 2023
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W rombie o boku długości \(6\sqrt{2}\) kąt rozwarty ma miarę \(150^\circ\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( 24 \)
- **B.** \( 72 \)
- **C.** \( 36 \)
- **D.** \( 36\sqrt{2} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin150°\).

Za chwilę korzystając ze wzoru na pole rombu będziemy potrzebować wartości \(sin150°\), zatem obliczmy ją już teraz. Jest to kluczowa trudność w tym zadaniu, bo w tablicach trygonometrycznych znajdziemy wartości funkcji dla kątów od \(0°\) do \(90°\). Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów rozwartych możemy obliczyć korzystając z jednego ze wzorów redukcyjnych. W naszym przypadku świetnie sprawdzi się wzór \(sin(90°+\alpha)=cos\alpha\). Korzystając z niego, możemy zapisać, że:

$$sin150°=sin(90°+60°)=cos60°$$

Z tablic odczytujemy teraz, że \(cos60°=\frac{1}{2}\), zatem tym samym \(sin150°=\frac{1}{2}\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni rombu.

W tym zadaniu możemy skorzystać ze "wzoru na pole rombu z sinusem", czyli:

$$P=a^2\cdot sin\alpha$$

Podstawiając znane nam dane, otrzymamy:

$$P=(6\sqrt{2})^2\cdot sin150° \\

P=36\cdot2\cdot\frac{1}{2} \\

P=36$$

Krok 3. Obliczenie iloczynu długości przekątnych rombu.

Standardowo pole rombu wyliczamy ze wzoru:

$$P=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f$$

Interesuje nas poznanie wartości iloczynu \(e\cdot f\), zatem podstawiając wyliczone przed chwilą \(P=36\), możemy zapisać, że:

$$36=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f \\

e\cdot f=72$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2023