---
route: /task/matura-maj-2023-03
title: Zadanie matura-maj-2023-03
source: Matura maj 2023
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2023-03

**Źródło:** Matura maj 2023
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, liczbę z treści zadania możemy rozpisać w następujący sposób:

$$(2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1= \\

=4n^2+4n=4n(n+1)$$

Nasz zapis moglibyśmy dla lepszego zobrazowania przedstawić nawet jako \(4\cdot n\cdot(n+1)\). W tym zapisie \(n\) oraz \(n+1\) to kolejne liczby naturalne, a wiemy, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze podzielny przez \(2\). Dodatkowo wyciągając czwórkę przed nawias udowodniliśmy, że liczba jest podzielna przez \(4\). Skoro zatem liczba da się rozłożyć na czynniki równe \(2\) oraz \(4\), to będzie też podzielna przez \(8\), co należało udowodnić.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2023