---
route: /task/matura-maj-2022-32
title: Zadanie matura-maj-2022-32
source: Matura maj 2022
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2022-32

**Źródło:** Matura maj 2022
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^{2} \alpha \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{4}{5}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-maj-2022-32.png]

Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.

Z treści zadania wynika, że \(tg\alpha=2\). Tangens odpowiada za stosunek długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym, a skoro tak, to pierwsza przyprostokątna (leżąca naprzeciwko kąta \(\alpha\)) ma długość \(2x\), a druga przyprostokątna ma długość \(x\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że przeciwprostokątna ma długość:

$$(2x)^2+x^2=c^2 \\

4x^2+x^2=c^2 \\

5x^2=c^2 \\

c=\sqrt{5x^2} \quad\lor\quad c=-\sqrt{5x^2}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{5x^2}\).

Krok 3. Obliczenie wartości \(sin^2\alpha\).

Sinus odpowiada za stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\) (która ma u nas długość \(2x\)), względem przeciwprostokątnej (która ma długość \(c=\sqrt{5x^2}\). Skoro tak, to:

$$sin\alpha=\frac{2x}{\sqrt{5x^2}}$$

Nas interesuje \(sin^2\alpha\), zatem całość musimy podnieść do kwadratu, co znacząco uprości cały zapis:

$$sin^2\alpha=\left(\frac{2x}{\sqrt{5x^2}}\right)^2 \\

sin^2\alpha=\frac{(2x)^2}{(\sqrt{5x^2})^2} \\

sin^2\alpha=\frac{4x^2}{5x^2} \\

sin^2\alpha=\frac{4}{5}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2022