---
route: /task/matura-maj-2022-31
title: Zadanie matura-maj-2022-31
source: Matura maj 2022
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2022-31

**Źródło:** Matura maj 2022
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\ne a\), spełniona jest nierówność \[\frac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\]

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Przekształcenie równania.

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że:

$$\frac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \\

\frac{a^2+b^2}{2}\gt\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \quad\bigg/\cdot4 \\

2\cdot(a^2+b^2)\gt a^2+2ab+b^2 \\

2a^2+2b^2\gt a^2+2ab+b^2 \\

a^2+b^2\gt 2ab \\

a^2-2ab+b^2\gt0 \\

(a-b)^2\gt0$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.

Z treści zadania wiemy, że \(b\neq a\), co prowadzi nas do wniosku, że różnica \(a-b\) jest na pewno różna od zera. Kwadrat dwóch liczb rzeczywistych różnych od zera jest zawsze większy od zera, zatem dowód możemy uznać za zakończony.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2022