---
route: /task/matura-maj-2022-30
title: Zadanie matura-maj-2022-30
source: Matura maj 2022
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2022-30

**Źródło:** Matura maj 2022
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W ciągu arytmetycznym \(a_n\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), \(a_1=-1\) i \(a_4=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(14750\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.

Z treści zadania wiemy, że:

$$a_{1}=-1 \\

a_{4}=8$$

Korzystając ze wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:

$$a_{4}=a_{1}+3r \\

8=-1+3r \\

9=3r \\

r=3$$

Krok 2. Obliczenie sumy \(S_{100}\).

W zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów, czyli:

$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Podstawiając teraz znane nam wartości oraz \(n=100\) (bo interesuje nas suma stu pierwszych wyrazów), otrzymamy:

$$S_{100}=\frac{2\cdot(-1)+(100-1)\cdot3}{2}\cdot100 \\

S_{100}=\frac{-2+99\cdot3}{2}\cdot100 \\

S_{100}=\frac{-2+297}{2}\cdot100 \\

S_{100}=\frac{295}{2}\cdot100 \\

S_{100}=\frac{295}{2}\cdot100 \\

S_{100}=147,5\cdot100 \\

S_{100}=14750$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2022