---
route: /task/matura-maj-2022-26
title: Zadanie matura-maj-2022-26
source: Matura maj 2022
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2022-26

**Źródło:** Matura maj 2022
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkty \(E,\ F,\ G,\ B\) są wierzchołkami ostrosłupa \(EFGB\) (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa \(EFGB\) jest równe

## Odpowiedzi

- **A.** \( a^2 \)
- **B.** \( \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \)
- **C.** \( \frac{3}{2}a^2 \)
- **D.** \( \frac{3+\sqrt{3}}{2}a^2 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Spróbujmy rozpisać długości krawędzi ostrosłupa \(EFGB\). Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro tak, to krawędzie \(BE\), \(BG\) oraz \(EG\) będą miały właśnie długość \(a\sqrt{2}\).

Oprócz tego musimy dostrzec, że krawędzie \(BF\), \(EF\) oraz \(FG\) mają długość \(a\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:

To prowadzi nas do wniosku, że na pole powierzchni całkowitej składać się będzie podstawa, która jest trójkątem równobocznym o boku \(a\sqrt{2}\) oraz trzy ściany boczne, które są trójkątami prostokątnymi o przyprostokątnych długości \(a\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni podstawy.

Pole trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie zapiszemy jako

$$P_{p}=\frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=\frac{a^2\cdot2\cdot\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej tworzą trzy trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \(a\). Możemy więc zapisać, że:

$$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}ah \\

P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot a \\

P_{b}=\frac{3}{2}\cdot a^2$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.

Mając obliczone \(P_{p}\) oraz \(P_{b}\) możemy zapisać, że:

$$P_{c}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}\cdot a^2 \\

P_{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a^2+\frac{3}{2}\cdot a^2 \\

P_{c}=\frac{\sqrt{3}+3}{2}\cdot a^2 \\

P_{c}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}\cdot a^2$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-560.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2022