---
route: /task/matura-maj-2022-15
title: Zadanie matura-maj-2022-15
source: Matura maj 2022
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2022-15

**Źródło:** Matura maj 2022
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), są dodatnie i \(9a_5=4a_3\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{2}{3} \)
- **B.** \( \frac{3}{2} \)
- **C.** \( \frac{2}{9} \)
- **D.** \( \frac{9}{2} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Skoro \(9a_{5}=4a_{3}\), to dzieląc obie strony tego równania przez \(9\) otrzymamy informację, że \(a_{5}=\frac{4}{9}a_{3}\).

Z własności ciągów geometrycznych wynika, że:

$$a_{5}=a_{3}\cdot q^2$$

Podstawiając do tego równania \(a_{5}=\frac{4}{9}a_{3}\), otrzymamy:

$$\frac{4}{9}a_{3}=a_{3}\cdot q^2 \quad\bigg/:a_{3} \\

\frac{4}{9}=q^2 \\

q=\frac{2}{3} \quad\lor\quad q=-\frac{2}{3}$$

Teoretycznie obydwa rozwiązania są poprawne, ale jedno z nich musimy odrzucić. Z treści zadania wynika, że ciąg ma wszystkie wyrazy dodatnie, a skoro tak, to odrzucić musimy \(q=-\frac{2}{3}\). To oznacza, że iloraz tego ciągu jest równy \(q=\frac{2}{3}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2022