---
route: /task/matura-maj-2021-35
title: Zadanie matura-maj-2021-35
source: Matura maj 2021
category: Funkcja kwadratowa
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2021-35

**Źródło:** Matura maj 2021
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Punkty \(A =(−20, 12)\) i \(B = (7, 3)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) oraz obwód tego trójkąta.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(C=(0,27)\), \(Obw=50+9\sqrt{10}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

I sposób - porównując długości odcinków.

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).

Z treści zadania wynika, że długość odcinka \(AC\) jest dokładnie taka sama jak \(BC\) (są to ramiona naszego trójkąta równoramiennego). Możemy więc skorzystać ze wzoru na długość odcinka i zapisać, że w takim razie:

$$|AC|=|BC| \\

\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \quad\bigg/^2 \\

(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2 \\

(x_{C}-(-20))^2+(y_{C}-12)^2=(x_{C}-7)^2+(y_{C}-3)^2$$

Mamy równanie z dwoma niewiadomymi, ale z treści zadania wypływa jeszcze jedna ważna informacja - wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\), a to oznacza, że współrzędna \(x_{C}\) na pewno jest równa \(0\). To umożliwia nam doprowadzenie całego zapisu do równania z jedną niewiadomą:

$$(0-(-20))^2+(y_{C}-12)^2=(0-7)^2+(y_{C}-3)^2 \\

20^2+(y_{C}-12)^2=(-7)^2+(y_{C}-3)^2 \\

400+{y_{C}}^2-24y_{C}+144=49+{y_{C}}^2-6y_{C}+9 \\

-24y_{C}+544=-6y_{C}+58 \\

-18y_{C}=-486 \\

y_{C}=27$$

W ten sposób poznaliśmy brakującą współrzędną \(y\) naszego punktu \(C\), stąd też możemy zapisać, że \(C=(0;27)\).

Krok 2. Obliczenie długości boków trójkąta.

Znamy już wszystkie współrzędne wierzchołków trójkąta \(ABC\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy obliczyć miary każdego z boków.

Podstawa:

$$|AB|=\sqrt{(7-(-20))^2+(3-12)^2}=\sqrt{27^2+(-9)^2}=\sqrt{729+81}=\sqrt{810}=9\sqrt{10}$$

Ramię:

$$|AC|=\sqrt{(0-(-20))^2+(27-12)^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25$$

Ramiona mają jednakową długość, więc także \(|BC|=25\).

Krok 3. Obliczenie obwodu trójkąta.

Znając długości wszystkich boków możemy zapisać, że:

$$Obw=9\sqrt{10}+25+25=50+9\sqrt{10}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-489.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2021