---
route: /task/matura-maj-2021-33
title: Zadanie matura-maj-2021-33
source: Matura maj 2021
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2021-33

**Źródło:** Matura maj 2021
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Trójkąt równoboczny \(ABC\) ma pole równe \(9\sqrt{3}\). Prosta równoległa do boku \(BC\) przecina boki \(AB\) i \(AC\) - odpowiednio - w punktach \(K\) i \(L\). Trójkąty \(ABC\) i \(AKL\) są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy \(\frac{2}{3}\). Oblicz długość boku trójkąta \(AKL\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(|AK|=4\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Choć w tym zadaniu rysunek nie jest może priorytetem, to zobrazujmy sobie tę sytuację, tak aby zrozumieć co liczymy.

Krok 2. Obliczenie długości boku trójkąta \(ABC\).

Skoro pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(9\sqrt{3}\), to korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:

$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\

9\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\

36\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \\

a^2=36 \\

a=6 \quad\lor\quad a=-6$$

Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam \(a=6\).

Krok 3. Obliczenie długości boków trójkąta \(AKL\).

Z treści zadania wynika, że stosunek długości boków trójkątów \(ABC\) i \(AKL\) wynosi \(\frac{2}{3}\). Skoro trójkąt \(AKL\) jest mniejszy, to:

$$\frac{|AK|}{|AB|}=\frac{2}{3} \\

\frac{|AK|}{6}=\frac{2}{3} \\

|AK|=\frac{2}{3}\cdot 6=4$$

Skoro trójkąt \(AKL\) jest trójkątem podobnym, to tak jak trójkąt \(ABC\) musi być równoboczny. To oznacza, że wszystkie boki trójkąta \(AKL\) mają długość równą \(4\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-488.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2021