---
route: /task/matura-maj-2021-32
title: Zadanie matura-maj-2021-32
source: Matura maj 2021
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2021-32

**Źródło:** Matura maj 2021
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozwiąż równanie \[\frac{3x+2}{3x-2}=4-x\]

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=\frac{5}{3} \lor x=2\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie założeń.

Rozwiązywanie zadania powinniśmy zacząć od zapisania założeń. Na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, więc wartość z mianownika powinna być różna od zera. W związku z tym:

$$3x-2\neq0 \\

3x\neq2 \\

x\neq\frac{2}{3}$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.

Rozwiązywanie najprościej będzie zacząć od wymnożenia obydwu stron przez wartość z mianownika, czyli przez \(3x-2\). Otrzymamy wtedy:

$$\frac{3x+2}{3x-2}=4-x \quad\bigg/\cdot(3x-2) \\

3x+2=(4-x)(3x-2) \\

3x+2=12x-8-3x^2+2x \\

3x+2=-3x^2+14x-8 \\

3x^2-11x+10=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=3,\;b=-11,\;c=10\)

$$\Delta=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot3\cdot10=121-120=1 \\

\sqrt{\Delta}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{11-1}{2\cdot3}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \\

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{11+1}{2\cdot3}=\frac{12}{6}=2$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.

Wyszło nam, że \(x=\frac{5}{3}\) oraz \(x=2\), ale to nie koniec zadania. Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymane wyniki nie wykluczają się przypadkiem z założeniami z pierwszego kroku. W tym przypadku tak się nie stało, więc obydwa rozwiązania są jak najbardziej prawidłowe. Stąd też możemy zapisać, że ostatecznymi rozwiązaniami równania są \(x=\frac{5}{3}\) oraz \(x=2\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2021