---
route: /task/matura-maj-2021-25
title: Zadanie matura-maj-2021-25
source: Matura maj 2021
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2021-25

**Źródło:** Matura maj 2021
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Punkt \(A = (3, −5)\) jest wierzchołkiem kwadratu \(ABCD\), a punkt \(M = (1,3\)) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu \(ABCD\) jest równe

## Odpowiedzi

- **A.** \( 68 \)
- **B.** \( 136 \)
- **C.** \( 2\sqrt{34} \)
- **D.** \( 8\sqrt{34} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AM\).

Znamy współrzędne punktu \(A=(3,-5)\) oraz \(M=(1,3)\). Korzystając ze wzoru na długość odcinka:

$$|AM|=\sqrt{(1-3)^2+(3-(-5))^2}=\sqrt{(-2)^2+8^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$$

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej.

Punkt \(M\) jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, więc dzieli każdą przekątną na pół. Zatem:

$$|AC|=2\cdot|AM|=2\cdot 2\sqrt{17}=4\sqrt{17}$$

Krok 3. Obliczenie pola kwadratu.

W kwadracie obie przekątne mają tę samą długość, więc \(|AC|=|BD|=4\sqrt{17}\). Pole kwadratu możemy obliczyć ze wzoru:

$$P=\frac{|AC|\cdot|BD|}{2}=\frac{4\sqrt{17}\cdot 4\sqrt{17}}{2}=\frac{16\cdot 17}{2}=\frac{272}{2}=136$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2021