---
route: /task/matura-maj-2021-24
title: Zadanie matura-maj-2021-24
source: Matura maj 2021
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2021-24

**Źródło:** Matura maj 2021
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Pole figury \(F_1\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach \(1\) i \(3\) jest równe polu figury \(F_2\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości \(r\) (zobacz rysunek). Długość \(r\) promienia jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( \sqrt{3} \)
- **B.** \( 2 \)
- **C.** \( \sqrt{5} \)
- **D.** \( 3 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni figury \(F_{1}\).

Figura \(F_{1}\) składa się z dwóch kół o promieniach \(1\) i \(3\). Musimy więc policzyć pole każdego z kół i całość zsumować. Korzystając ze wzoru na pole koła \(P=\pi\cdot r^2\) możemy zapisać, że:

$$F_{1}=\pi\cdot 1^2+\pi\cdot 3^2 \\

F_{1}=1\pi+9\pi \\

F_{1}=10\pi$$

Krok 2. Obliczenie długości promienia \(r\).

Chcemy, by pole drugiej figury było takie samo jak pierwszej, zatem:

$$10\pi=\pi\cdot r^2+\pi\cdot r^2 \\

10\pi=2\pi\cdot r^2 \\

10=2\cdot r^2 \\

r^2=5 \\

r=\sqrt{5} \quad\lor\quad r=-\sqrt{5}$$

Ujemną długość promienia odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{5}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2021