---
route: /task/matura-maj-2021-23
title: Zadanie matura-maj-2021-23
source: Matura maj 2021
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2021-23

**Źródło:** Matura maj 2021
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W każdym \(n\)–kącie wypukłym (\(n\ge 3\)) liczba przekątnych jest równa \(\frac{n(n-3)}{2}\). Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o \(25\) większa od liczby boków, jest

## Odpowiedzi

- **A.** siedmiokąt.
- **B.** dziesięciokąt.
- **C.** dwunastokąt.
- **D.** piętnastokąt.

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Ułożenie równania.

Chcemy, by liczba przekątnych była o \(25\) większa od liczby boków, więc musimy rozwiązać następujące równanie:

$$n+25=\frac{n(n-3)}{2} \\

2n+50=n(n-3) \\

2n+50=n^2-3n \\

-n^2+5n+50=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=-1,\;b=5,\;c=50\)

$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-1)\cdot50=25-(-200)=225 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{225}=15$$

$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-15}{2\cdot(-1)}=\frac{-20}{-2}=10 \\

n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+15}{2\cdot(-1)}=\frac{10}{2}=-5$$

Ujemny wynik musimy odrzucić, bo liczba kątów w wielokącie jest dodatnia, zatem zostaje nam \(n=10\). To oznacza, że poszukiwanym wielokątem jest dziesięciokąt.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2021