---
route: /task/matura-maj-2021-17
title: Zadanie matura-maj-2021-17
source: Matura maj 2021
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2021-17

**Źródło:** Matura maj 2021
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Prosta \(k\) jest styczna w punkcie \(A\) do okręgu o środku \(O\). Punkt \(B\) leży na tym okręgu i miara kąta \(AOB\) jest równa \(80^\circ \). Przez punkty \(O\) i \(B\) poprowadzono prostą, która przecina prostą \(k\) w punkcie \(C\) (zobacz rysunek). Miara kąta \(BAC\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 10^\circ \)
- **B.** \( 30^\circ \)
- **C.** \( 40^\circ \)
- **D.** \( 50^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(BAO\).

Spójrzmy na trójkąt \(AOB\). Na pewno jest to trójkąt równoramienny, bowiem boki \(AO\) oraz \(BO\) są promieniami okręgu. Skoro tak, to kąty przy podstawie \(AB\) muszą mieć jednakową miarę. Jeżeli więc kąt między ramionami ma miarę \(80°\), to na kąty przy podstawie zostaje:

$$180°-80°=100°$$

Obydwa kąty muszą mieć jednakową miarę, zatem:

$$|\sphericalangle BAO|=100°:2=50°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(BAC\).

Spójrzmy na trójkąt \(CAO\). Jest to trójkąt prostokątny, bo styczna do okręgu zawsze tworzy z promieniem kąt prosty. Poszukiwany kąt \(BAC\) będzie więc różnicą między kątem prostym i kątem \(BAO\) (który przed chwilą wyznaczyliśmy). W związku z tym:

$$|\sphericalangle BAC|=90°-50°=40°$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2021