---
route: /task/matura-maj-2021-14
title: Zadanie matura-maj-2021-14
source: Matura maj 2021
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2021-14

**Źródło:** Matura maj 2021
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Ciąg \((b_n)\) jest określony wzorem \(b_n=3n^2-25n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Liczba niedodatnich wyrazów ciągu \((b_n)\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 14 \)
- **B.** \( 13 \)
- **C.** \( 9 \)
- **D.** \( 8 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Ułożenie nierówności.

Aby sprawdzić ile jest wyrazów niedodatnich (czyli ujemnych lub równych zero) musimy sprawdzić kiedy \(3n^2-25n\) będzie mniejsze lub równe \(0\). W związku z tym musimy rozwiązać nierówność:

$$3n^2-25n\le0$$

Krok 2. Rozwiązanie nierówności.

Możemy tę nierówność rozwiązać korzystając z delty (pamiętając o tym, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale znacznie prościej będzie będzie po prostu wyłączyć \(n\) przed nawias:

$$n(3n-25)\le0$$

Teraz do rozwiązania nierówności musimy wyznaczyć miejsca zerowe, czyli sprawdzić kiedy \(n(3n-25)\) jest równe \(0\). Wystarczy więc przyrównać \(n\) oraz \(3n-25\) do zera:

$$n=0 \quad\lor\quad 3n-25=0 \\

n=0 \quad\lor\quad 3n=25 \\

n=0 \quad\lor\quad n=8\frac{1}{3}$$

Znając miejsca zerowe, możemy przystąpić do rysowania paraboli (ramiona paraboli będą skierowane do góry):

Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero, czyli patrzymy się na to, co znajduje się pod osią lub na osi. To oznacza, że \(n\in\langle0;8\frac{1}{3}\rangle\).

Krok 3. Ustalenie liczby niedodatnich wyrazów.

Wiemy, że w ciągach \(n\) jest liczbą naturalną \(n\ge1\). Zastanówmy się więc, jakie liczby mieszczą się w przedziale \(n\in\langle0;8\frac{1}{3}\rangle\). Będą to:

$$1,2,3,4,5,6,7,8$$

To oznacza, że nasz ciąg ma \(8\) wyrazów niedodatnich.

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-492.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2021