---
route: /task/matura-maj-2020-34
title: Zadanie matura-maj-2020-34
source: Matura maj 2020
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2020-34

**Źródło:** Matura maj 2020
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\), którego krawędź boczna ma długość \(6\) (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy \(\sqrt{7}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=\frac{32\sqrt{7}}{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

W rysunku pomocniczym najważniejsze jest to, by zaznaczyć poprawnie kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Kiedy naniesiemy na rysunek dane z treści zadania, to otrzymamy taką oto sytuację:

Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie przede wszystkim niebieskiego trójkąta prostokątnego \(SOE\) w którym dolna przyprostokątna jest połową długości krawędzi podstawy, boczna przyprostokątna jest wysokością bryły, a przeciwprostokątna jest wysokością ściany bocznej.

Krok 2. Wprowadzenie oznaczeń, które wynikają z informacji na temat tangensa.

Spójrzmy na niebieski trójkąt prostokątny \(SOE\). Wiemy, że \(tgα=\sqrt{7}\). Tangens jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\) względem przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. I tu pojawia się problem, bo nie znamy ani jednej, ani drugiej długości. Zastanówmy się jednak co się musi stać, aby tangens naszego kąta \(α\) był równy \(\sqrt{7}\). Aby tak się stało, to przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta \(α\) (czyli nasza wysokość ostrosłupa) musi być \(\sqrt{7}\) razy większa od przyprostokątnej leżącej przy kącie \(α\). Jeżeli więc dolna przyprostokątna leżąca przy kącie \(α\) ma długość \(\frac{1}{2}a\), to wtedy wysokość naszej bryły będzie miała długość \(\sqrt{7}\cdot\frac{1}{2}a=\frac{a\sqrt{7}}{2}\).

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.

Spójrzmy teraz na zielony trójkąt prostokątny \(SOC\). Ten trójkąt w dolnej przyprostokątnej ma połowę długości przekątnej kwadratu, jego boczną przyprostokątną jest wysokość bryły, a przeciwprostokątną jest krawędź boczna o długości \(6\).

Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), czyli przyprostokątna \(OC\) będzie mieć długość \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Wiemy też, że wysokość ostrosłupa jest równa \(H=\frac{a\sqrt{7}}{2}\). Skoro tak, to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

$$\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{7}}{2}\right)^2=6^2 \\

\frac{2a^2}{4}+\frac{7a^2}{4}=36 \\

\frac{9a^2}{4}=36 \\

9a^2=144 \\

a^2=16 \\

a=4 \quad\lor\quad a=-4$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=4\).

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.

Wiemy, że ostrosłup ma długość \(H=\frac{a\sqrt{7}}{2}\), zatem skoro \(a=4\), to:

$$H=\frac{4\sqrt{7}}{2}=2\sqrt{7}$$

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.

Na koniec została już tylko formalność, bowiem skoro \(a=4\) oraz \(H=2\sqrt{7}\), to objętość ostrosłupa będzie równa:

$$V=\frac{1}{3}a^2\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot4^2\cdot2\sqrt{7} \\

V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot2\sqrt{7} \\

V=\frac{32\sqrt{7}}{3}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-445.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2020