---
route: /task/matura-maj-2020-33
title: Zadanie matura-maj-2020-33
source: Matura maj 2020
category: Ciągi
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2020-33

**Źródło:** Matura maj 2020
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\ge1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_1-5a_2+a_3=0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2} \rangle \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(q=3\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Rozpisanie wyrażenia z treści zadania.

Z własności ciągów wiemy, że:

$$a_{2}=a_{1}\cdot q \\

a_{3}=a_{1}\cdot q^2$$

Podstawiając te dane do naszego równania \(6a_{1}-5a_{2}+a_{3}=0\) otrzymamy:

$$6a_{1}-5\cdot(a_{1}\cdot q)+a_{1}\cdot q^2=0 \\

6a_{1}-5a_{1}\cdot q+a_{1}\cdot q^2=0$$

I teraz kluczowy moment zadania. Aby rozwiązać to równanie musimy wyłączyć \(a_{1}\) przed nawias, otrzymując:

$$a_{1}\cdot(6-5q+q^2)=0 \quad\bigg/:a_{1} \\

6-5q+q^2=0 \\

q^2-5q+6=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

W trakcie obliczeń otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:

Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)

$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$q_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \\

q_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.

Z treści zadania wynika, że \(q\) musi należeć do przedziału \((2\sqrt{2}, 3\sqrt{2})\). Przyjmując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,41\) możemy założyć, że nasz iloraz \(q\) musi być większy od około \(2,82\) i mniejszy od \(4,23\). Taki warunek spełnia jedynie \(q=3\) i to będzie nasza jedyna odpowiedź do tego zadania.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2020