---
route: /task/matura-maj-2019-32
title: Zadanie matura-maj-2019-32
source: Matura maj 2019
category: Ciągi
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-maj-2019-32

**Źródło:** Matura maj 2019
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Różnicą tego ciągu jest liczba \(r = -4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_5\), \(a_6\), jest równa \(16\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_k = -78\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a_1 = 26\) i \(k = 27\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie sumy sześciu wyrazów tego ciągu.

Skoro średnia arytmetyczna sześciu wyrazów tego ciągu jest równa \(16\), to znaczy że:

$$\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}}{6}=16 \\

a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=96$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.

Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy rozpisać każdy z kolejnych wyrazów w następujący sposób:

\(a_{1} \\

a_{2}=a_{1}+r \\

a_{3}=a_{1}+2r \\

a_{4}=a_{1}+3r \\

a_{5}=a_{1}+4r \\

a_{6}=a_{1}+5r\)

Skoro tak, to możemy zapisać, że:

$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r+a_{1}+3r+a_{1}+4r+a_{1}+5r=96 \\

6a_{1}+15r=96$$

Z treści zadania wynika, że \(r=-4\), zatem mamy:

$$6a_{1}+15\cdot(-4)=96 \\

6a_{1}-60=96 \\

6a_{1}=156 \\

a_{1}=26$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(k\) dla której \(a_{k}=-78\).

Musimy tak naprawdę odpowiedzieć na pytanie który wyraz tego ciągu jest równy \(-78\), wiedząc że \(a_{1}=26\) oraz \(r=-4\). Możemy to zrobić korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). W zasadzie w tym wzorze zamiast symbolu \(n\) możemy użyć symbolu \(k\), tak aby dopasować się do treści zapisu z zadania, zatem:

$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r \\

-78=26+(k-1)\cdot(-4) \\

-78=26-4k+4 \\

-78=30-4k \\

-4k=-108 \\

k=27$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2019