---
route: /task/matura-maj-2019-14
title: Zadanie matura-maj-2019-14
source: Matura maj 2019
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-maj-2019-14

**Źródło:** Matura maj 2019
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Punkty \(D\) i \(E\) leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym \(ABC\) (zobacz rysunek). Odcinek \(CD\) jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany \(DEB\) ma miarę \(\alpha\). Zatem

## Odpowiedzi

- **A.** \( \alpha = 30^\circ \)
- **B.** \( \alpha \lt 30^\circ \)
- **C.** \( \alpha \gt 45^\circ \)
- **D.** \( \alpha = 45^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(DCB\).

Odcinek \(CD\) jest średnicą okręgu, a przy okazji będzie też pokrywał się z wysokością trójkąta \(ABC\). W trójkącie równobocznym wysokość trójkąta jest jednocześnie dwusieczną kąta, a to oznacza, że kąt \(DCB\) ma miarę:

$$|\sphericalangle DCB|=60°:2 \\

|\sphericalangle DCB|=30°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).

Kąt \(DCB\) (którego miarę policzyliśmy przed chwilą) oraz \(DEB\) (czyli nasz kąt \(α\)) to kąty oparte na tym samym łuku. Skoro tak, to zgodnie z własnościami kątów wpisanych będą one miały jednakowe miary. To oznacza, że:

$$α=30°$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-324.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2019